刚体定轴转动的角动量定理及角动量守恒定律

刚体定轴转动的角动量定理及角动量守恒定律

王昶清

“刚体定轴转动的角动量定理及角动量守恒定律”教学过程设计

一、创设情境、导入新课—— 水花消失术、花样滑冰、太空授课

案例一  视频展示跳水健儿全红婵在刚刚结束的巴黎奥运会上上演“水花消失术”。有网友表示“我扔个鸡蛋下去都比这水花大”、“下饺子都比这水花大”……水花这么小是因为运动员技术太好，以至于颠覆了物理学定律吗？技术背后有没有深刻的物理学规律？

案例二  视频播放花样滑冰运动员的精彩表演。花样滑冰是一项需要高度身体控制技巧的运动，运动员除了需要刻苦的身体训练提高技术之外，运动背后有哪些深刻的物理学规律呢？

案例三 视频播放2023年6月20日，神舟十号航天员王亚平在聂海胜、张晓光协助下开展的实时太空授课。全国8万所中学6000多万名学生还有坐在电视机前的观众通过中央电视台直播收看，这堂课点亮了许许多多孩子的好奇心，也在无数个孩子的心中播种下航天梦想。授课过程中王亚平让另一个宇航员表演转身的动作，太空中如何转身呢？她在授课过程中就展示了一个很好的方法：左手绕肩旋转。这里面隐藏着什么样的物理学规律呢？

为了了解这三个案例中的物理学原理，下面介绍刚体定轴转动的角动量定理及角动量守恒定律。

【教学策略】创设情境导入新课时，结合新闻案例——奥运冠军全红婵的“水花消失术”和花样滑冰运动员的精彩表演为切入点，导入问题，引发学生对跳水、花样滑冰和宇航员转身过程中运动规律的思考，激发学生的学习热情，勾起学生对新知识的学习兴趣。

二、回顾知识、探究新知 —— 刚体定轴转动的角动量定理及角动量守恒定律

回顾：

1.转动惯量：刚体绕某一固定轴转动的转动惯量

2.刚体定轴转动的转动定律：

新知：

1.      刚体对轴的角动量

刚体定轴转动时对转轴的角动量就是刚体上各个质元对该轴的角动量之和。设刚体上某个质元P的质量为，其到定轴的距离为，转动的角速度为。则该质元对转轴的角动量大小为，方向沿着转轴的方向。由于刚体上每个质元绕固定轴转动的角速度一样，而且每个质元对转轴的角动量的方向也一样。所以有

刚体对固定轴的角动量       

方向沿着固定轴，并于角速度的方向相同。

2.      刚体定轴转动的角动量定理

由刚体定轴转动的转动定律可知

这就是刚体定轴转动的角动量定理：定轴转动的刚体所受的合外力矩等于此时刚体角动量对时间的变化率。

设时，，，对上式分离变量积分可得

冲量矩

上式说明定轴转动的刚体所受到的冲量矩等于刚体在这段时间内对该转轴角动量的增量。

3.      刚体对轴转动的角动量守恒定律

在上面定理的推导过程中我们强调了转动惯量在转动过程中是不变的。可以证明当转动的物体不能视为刚体，即物体的转动惯量不是常数时，只要物体的各个部分以同一角速度转动时依然成立。

当刚体受到的合外力矩为零时，由刚体转动的角动量定理可知：

就有                        

这就是说：如果外力对某转轴的力矩之和为零，则该物体对同一转轴的角动量守恒。这就是对轴的角动量守恒定律。

【教学策略】介绍刚体定轴转动的角动量概念和角动量定理及角动量守恒定律，引导学生掌握刚体定轴转动的规律，培养学生观察、分析、总结的逻辑思维能力和运算能力。

三、应用举例、学以致用 —— 水花消失术、花样滑冰、太空授课

例1水花消失术

再次播放“水花消失术”视频，让学生讨论运动员在跳水过程背后蕴含的与我们这节课相关的物理学规律。运动员在空中翻转过程中忽略阻力，角动量守恒，根据，为了在有限的时间内翻转更多的圈数必须提高翻转的速度，要提高翻转速度必须把身体蜷缩成一团减小转动惯量，入水前必须把身体打开，增加转动惯量以减小翻转速度，减小对水面的冲击。

水花形成的基本原理是动量定理，现象上是“水锤效应”的一种表现。当一个苹果或者一个人落入水中，水面被物体挤开后，上方就会形成一个空腔区域，水会自然地从四面八方涌入，当填充满空腔区域的那一刻，水原本向前流动，突然没有地方可流了，就由运动变成了静止，这一刻就产生了巨大冲击力，就是所谓的“水锤效应”。按照动量定理，动量的变化量除以最后这一刻的极短时间就形成了巨大的冲击力，这个冲击力就会把中间的水向上抛起来。跳水运动员入水后通常不是直着向下，而是侧向一个方向，通过肢体的一些动作把水锤通路变成一条曲线，而不是一条直线，同时再通过肢体的运动耗散掉一部分能量。入水后运动员还会在水中翻转，把原本集中的水泡又驱散，，这样就可以尽可能少地使最终的巨大冲击把水面那个位置的水抛向空中，于是就形成了“压水花”的效果以消除大水花。当然，每个运动员能压得那么小的水花，不仅是靠这些理论知识，更是长久不懈的努力训练。

例2花样滑冰

    再次播放花样滑冰运动员的精彩表演，提问学生运动员在跳水过程背后蕴含的与我们这节课相关的物理学规律。忽略阻力的作用，没有外力矩的条件下，人体的总角动量是守恒的。旋转中的运动员收手后，转动惯量减小，根据，角速度ω（转速）将会增大，反之，运动员要想使旋转速度减小，就要增加自己的转动惯量，所以运动员会把手臂打开，腿脚也会伸开。当然，外力矩为零的条件必须是运动员的重心保持在旋转轴上，也就是轴心正。所以，要想完成速度大、轴心正、定级高、加分多的旋转一点也不容易。

例3太空授课

    再次播放宇航员王亚平的太空授课视频。提问学生宇航员要想在太空中转身为什么直接转身和游泳的方式都不行呢？宇航员左手绕肩旋转为什么能实现太空转身呢？同样，宇航员在太空中受到的合外力矩为零，角动量守恒。由于宇航员初始的角动量为零，当宇航员左手绕肩旋转时会产生一个角动量，为了保持角动量守恒，宇航员的身体就会转动产生一个相反方向的角动量。

【教学策略】①通过实际案例分析与新课导入遥相呼应，将物理思想融入到教学中，让学生体会“物理既源于生活又应用于生活”，并且通过讲练结合，促进学生对知识的理解掌握，提高学生的动手能力，培养应用物理规律的意识；②通过组织讨论，培养学生发散思维能力，归纳总结能力和创新能力；③通过列举运动员的高超的跳水、花样滑冰技术和太空转身，分析其中的物理规律，培养学生为国增光的奉献精神，增强民族自豪感。

四、内容小结、拓展提升

内容小结（1）刚体定轴转动的角动量概念；

（2）刚体定轴转动的角动量定理；

（3）对轴转动的角动量守恒定律。

思考提升（学习通发布任务）：学生在课后就本次课的内容绘制思维导图初步构建起知识体系，提炼用到的解决问题的方法和规律，培养学生归纳概括能力，然后通过练习题让学生进一步巩固所学知识。

拓展训练（共轴交叉双旋翼直升机）：

共轴双旋翼直升机具有绕同一理论轴线一正一反旋转的上下两副旋翼，由于转向相反，两副旋翼产生的扭矩在航向不变的飞行状态下相互平衡，通过所谓的上下旋翼总距差动产生不平衡扭矩可实现航向操纵，共轴双旋翼在直升机的飞行中，既是升力面又是纵横向和航向的操纵面。共轴式直升机与单旋翼带尾桨直升机的主要区别是采用上下共轴反转的两组旋翼用来平衡旋翼扭矩，不需尾桨。

北京航空航天大学于上世纪80年代开始研制共轴式直升机，并先后研制了"海鸥"共轴式无人直升机、M16 单座共轴式直升机、M22、F H -1 小型共轴式无人直升机。其中F H -1 小型共轴式无人直升机已在电力部门、科研院所等单位应用。该机目前已实现了从起飞到降落的无人驾驶自主飞行，可载20k g 任务载荷，飞行1.5h。 一般来说，共轴式直升机绕旋翼轴的转动惯量大大小于单旋翼带尾桨直升机，因而，航向的操纵性好于单旋翼带尾桨直升机，而稳定性相对较差；由于共轴式直升机的机身较短，故增加平尾面积和采用双垂尾来提高直升机的纵向和航向稳定性。共轴式直升机的垂尾的航向操纵效率只在飞行速度较大时方起作用。请同学们课下查阅资料了解共轴交叉双旋翼直升机，分析直升机垂直升降过程中蕴含的物理学规律。

【教学策略】①“内容小结”巩固所学知识，提炼用到的解决问题的方法和规律，培养学生归纳概括能力；②“拓展阅读”引导学生查阅资料，了解共轴交叉双旋翼直升机工作原理，以及直升机在飞翔过程中涉及到的角动量守恒定律。

五、教学总结

本节的教学内容是刚体定轴转动的角动量定理及角动量守恒定律，其教学重点是掌握刚体定轴转动的角动量的概念和定理及角动量守恒定律，会利用角动量定理和角动量守恒定律分析简单系统的力学问题。

在教学中，将鲜活的实际生活中的实例融入枯燥的物理知识，将理论分析和实际应用有机结合，有效地激发学生的学习兴趣，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，培养学生应用物理的意识，达到“学以致用、用以促学”的目的。通过事实案例启发学生思考，自然巧妙地进行课程思政，培养学生爱国精神，增强民族自豪感。